Geomeetrilised kuubikud. Mis on diagonaalne kuubik ja kuidas seda leida

Või kuusnurk) on kolmemõõtmeline kujutis, iga nägu on ruut, kus, nagu teame, on kõik küljed võrdsed. Kuubi diagonaal on segment, mis läbib joonise keskosa ja ühendab sümmeetrilisi tippe. Regulaarses heksahedroonis on 4 diagonaali ja kõik need on võrdsed. On väga oluline mitte segi ajada figuuri diagonaali selle näo või ruudu diagonaaliga, mis asub selle alusel. Kuubi diagonaalne külg läbib näo keskpunkti ja ühendab ruudu vastassuunalised tipud.

Kuubi diagonaali leidmise valem

Tavalise polühedroni diagonaali võib leida väga lihtsa valemiga, mida tuleb meeles pidada. D = a√3, kus D on kuubi diagonaal ja on serv. Näitame probleemi, kus on vaja leida diagonaal, kui on teada, et selle serva pikkus on 2 cm, siin on kõik vaid D = 2√3, isegi midagi ei ole vaja kaaluda. Teises näites laske kuubi serval olla cm3 cm, siis saame D = √3√3 = √9 = 3. Vastus: D on 3 cm.

Valem, mille abil saate leida kuubiku näo diagonaali

Diago Võite leida näo ka valemiga. Servad asuvad diagonaalid on vaid 12 tükki ja kõik on võrdsed. Nüüd me mäletame d = a√2, kus d on ruudu diagonaal ja on ka kuubi või ruudu külg. Mõistmine, kust see valem tuli, on väga lihtne. Lõppude lõpuks, ruudu ja diagonaali kaks külge, selles trios on diagonaal hüpotenuse roll ja ruudu küljed on sama pikkusega jalad. Meenuta Pythagori teoreem ja kõik satub kohe kohale. Nüüd on ülesanne: hexahedroni serv on √8 cm, on vaja leida oma näo diagonaal. Lisame valemisse ja saame d = √8 √2 = √16 = 4. Vastus: kuubiku näo diagonaal on 4 cm.

Kui kuubi diagonaalne pind on teada

Probleemi tingimuse järgi antakse meile ainult tavalise polühedreri näo diagonaal, mis on, näiteks, cm2 cm, ja me peame leidma kuubi diagonaali. Selle probleemi lahendamise valem on veidi keerulisem kui eelmine. Kui me teame d, siis leiame kuubi serva, lähtudes meie teisest valemist d = a√2. Saame a = d / √2 = √2 / √2 = 1cm (see on meie serv). Ja kui see kogus on teada, siis on kerge leida kuubi diagonaal: D = 1√3 = √3. Nii me lahendasime oma probleemi.

Kui pindala on teada

Järgmine lahendusalgoritm põhineb diagonaali leidmisel eeldusel, et see on 72 cm2. Kõigepealt leiame ühe näo pindala ja neist on kokku kuus, nii et 72 tuleb jagada 6-ga, saame 12 cm 2. See on ühe külje ala. Tavalise polühedri serva leidmiseks on vaja meenutada valemit S = a 2, mis tähendab a = √S. Asendaja ja saame a = √12 (kuubi serva). Ja kui me seda väärtust teame, siis pole diagonaali raske leida D = a√3 = √12 √3 = √36 = 6. Vastus: kuubi diagonaal on 6 cm 2.

Kui kuubiku servade pikkus on teada

On juhtumeid, kus probleemile antakse ainult kuubi kõigi servade pikkus. Seejärel tuleb see väärtus jagada 12-ga. See on külgede arv õiges polühedroonis. Näiteks, kui kõigi servade summa on 40, siis on üks pool võrdne 40/12 = 3.333. Lisame oma esimesesse valemisse ja saame vastuse!

Kus on vaja leida kuubi serv. See on kuubiku serva pikkuse määratlemine kuubi pindala, kuubi mahu, kuubi pinna diagonaali ja kuubi diagonaali järgi. Kaaluge kõiki nelja võimalust selliste ülesannete täitmiseks. (Ülejäänud ülesanded on reeglina ülaltoodud variandid või trigonomeetria ülesanded, mis on vaatlusaluse küsimusega väga kaudselt seotud)

Kui tead kuubi näo pinda, siis leia kuubi serv väga lihtne. Kuna kuubi nägu on ruut, mille pool on kuubiku servaga võrdne, on selle pindala võrdne kuubiku serva ruuduga. Seetõttu on kuubi serva pikkus võrdne selle näo pindala ruutjuurega, st:

ja - kuubiku serva pikkus,

S on kuubiku näo pindala.

Kauba kuju leidmine selle mahus on veelgi lihtsam. Arvestades, et kuubi maht on võrdne kuubiku serva kuubiku (kolmanda astme) kuubiga, saame, et kuubi serva pikkus on võrdne selle mahtu kuupmeetri (kolmanda astme) juurega, st:

ja - kuubiku serva pikkus,

V on kuubi maht.

Kuubiku serva pikkuse leidmine teadaolevate diagonaalsete pikkuste juures on veidi raskem. Märkige:

ja - kuubiku serva pikkus;

b - kuubi pinna diagonaali pikkus;

c - kuubi diagonaali pikkus.

Nagu jooniselt näha, moodustavad kuubi näo ja servade diagonaal ristkülikukujulise võrdkülgse kolmnurga. Seega, Pythagori teoreemiga:

Siit leiame:

(et leida kuubi serv, mida vajate ekstraktimiseks ruutjuur pool diagonaalse näo ruudust).

Kuubi serva leidmiseks selle diagonaalil kasutame uuesti mustrit. Kuubi (c) diagonaal, näo (b) diagonaal ja kuubi (a) serv moodustavad parema kolmnurga. Niisiis, vastavalt Pythagori teoreemile:

Kasutame ülaltoodud suhet a ja b vahel ning asendame valemis

b ^ 2 = a ^ 2 + a ^ 2. Me saame:

^ 2 + a ^ 2 + a ^ 2 = c ^ 2, kust me leiame:

3 * a ^ 2 = c ^ 2, seega:

Kuubik on ristkülikukujuline rööptahukas, mille kõik servad on võrdsed. Seega lihtsustatakse ristkülikukujulise rippsõrme mahu üldist valemit ja kuubi korral selle pindala valemit. Samuti on võimalik leida kuubi maht ja selle pindala, teades selle sisse kantud palli mahtu või selle ümber kirjeldatud palli.

Sa pead

• kuubi külje pikkus, kirjutatud ja kirjeldatud palli raadius

Juhend

Ristkülikukujulise ristküliku ruumala on: V = abc - kus a, b, c on selle mõõtmed. Seetõttu on kuubiku maht võrdne V = a * a * a = a ^ 3, kus a on kuubi külje pikkus, kuubi pindala on võrdne kõigi tema pindade pindalaga. Kuubil on kuus nägu, seega on selle pindala S = 6 * (a ^ 2).

Lase pallil kuubi sobitada. Ilmselt on selle kuuli läbimõõt võrdne kuubi küljega. Asendades läbimõõdu pikkuse mahu väljenduses kuubi serva pikkuse asemel ja kasutades seda läbimõõduga võrdub kahekordne raadius, saame siis V = d * d * d = 2r * 2r * 2r = 8 * (r ^ 3), kus d on kirjutatud ringi läbimõõt ja r on kirjutatud ringi raadius. Kuubi pindala on siis S = 6 * (d ^ 2) = 24 * (r ^ 2).

Laske palli kirjeldada kuubiku ümber. Siis langeb selle läbimõõt kuubi diagonaaliga. Kuubi diagonaal läbib kuubiku keskpunkti ja ühendab selle kaks vastandlikku punkti.
Mõtle esmalt kuubi nägu. Selle külje servad on parempoolse kolmnurga jalad, kus näo d diagonaal on hüpotenuus. Seejärel saame Pythagori teoreemi järgi: d = sqrt ((a ^ 2) + (a ^ 2)) = sqrt (2) * a.

Seejärel vaadake kolmnurka, milles hüpoteenus on kuubi diagonaal, ja d-näo diagonaal ja üks kuubi a servadest on selle jalad. Samamoodi saame Pythagori teoreemi järgi: D = sqrt ((d ^ 2) + (a ^ 2)) = sqrt (2 * (a ^ 2) + (a ^ 2)) = a * sqrt (3).
Seega, vastavalt tuletatud valemile, on kuubi diagonaaliks D = a * sqrt (3). Seega on a = D / sqrt (3) = 2R / sqrt (3). Seetõttu on V = 8 * (R ^ 3) / (3 * sqrt (3)), kus R on kirjeldatud palli raadius ja kuubi pindala on S = 6 * ((D / sqrt (3)) ^ 2) = 6 * (D ^ 2) / 3 = 2 * (D ^ 2) = 8 * (R ^ 2).

Sageli on ülesandeid, milles peate leidma kuubi serva, tihti tuleks seda teha selle mahu, küljeala või diagonaali põhjal. Kuubiku serva määratlemiseks on mitmeid võimalusi.

Sellisel juhul, kui kuubi pindala on teada, saab serva kergesti määrata. Kuubi nägu on ruut, mille pool on kuubiku servaga võrdne. Seega on selle pindala võrdne kuubiku ruudu servaga. Sa peaksid kasutama valemit: a = √S, kus a on kuubi serva pikkus ja S on kuubi näo pindala. Kuubiku serva leidmine selle mahust on veelgi lihtsam ülesanne. On vaja arvestada, et kuubiku maht võrdub kuubikuga (kolmandas astmes) kuubi serva pikkus. Selgub, et serva pikkus on võrdne selle mahu kuubikujuga. See tähendab, et saame järgmise valemi: a = √V, kus a on kuubi serva pikkus ja V on kuubi maht.

Diagonaalselt võite leida ka kuubi serva. Seega vajame: a - kuubi serva pikkust, b - kuubi pinna diagonaali pikkust, c - kuubi diagonaali pikkust. Pythagori teoreemi järgi saame: a ^ 2 + a ^ 2 = b ^ 2 ja siit saab kergesti tuletada järgmise valemi: a = √ (b ^ 2/2), mis ekstraktib kuubi serva.

Jällegi, kasutades Pythagori teooriat (a ^ 2 + a ^ 2 = b ^ 2), saame järgmise suhte: a ^ 2 + a ^ 2 + a ^ 2 = c ^ 2, millest tuletame: 3 * a ^ 2 = c ^ 2, seega saab kuubiku serva saada järgmiselt: a = √ (c ^ 2/3).